INTRODUCCIÓN AL ESTUDIOS DE SISTEMAS DINÁMICOS

1.1 Concepto de Sistema y Modelo.

Para conceptualizar lo que se entiende por sistema  se han dado una gran cantidad de definiciones, ya que se trata de una idea muy amplia que admite múltiples interpretaciones ya que se puede hablar de sistemas mecánicos, sistemas biológicos, sistemas sociales, sistemas económicos, etc. Sin embargo para enfocar el propósito de definir un sistema en el contexto de las ingenierías, la tarea no se hace tan compleja, por ejemplo se puede considerar que un sistema es un conjunto de elementos que interactúan para efectuar una tarea determinada.

Un sistema se puede también concebir como una parte del universo conceptualmente aislada en la cual se tienen variables que proceden del resto del mundo y variables con las cuales el sistema responde a las primeras mediante una relación definida.

Clasificación de sistemas. Los sistemas mostrados en cualquiera de las definiciones anteriores pueden clasificarse como: Causales, aquellos que obedecen a la relación Causa-Efecto, sin embargo, algunos sistemas dinámicos pueden tener comportamiento impredecible, estos pueden clasificarse como:

-          Estables.

-          Inestables.

-          Caóticos (Caos determinista).

Un sistema estable tiende, según transcurre el tiempo, a un punto u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores, y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay “fuerzas” que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado a una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iníciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iníciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según algunas investigaciones, puede describirse  por tres ecuaciones diferenciales definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iníciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iníciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Modelo. En un sentido amplio, un modelo puede ser una muestra o representación de cómo es la realidad (figura 1.1).

El modelo científico se puede definir como la muestra ideal que representa de manera simplificada una teoría.

Características del modelo.

-          Conecta lo abstracto de la teoría con lo concreto de la realidad.

-          Al hacer referencia a lo concreto se nos presenta más cercano a la imaginación.

-          Por ser más concreto que la teoría se le puede utilizar para realizar comprobaciones empíricas.

-          Muestra los aspectos más importantes de la teoría ya que la representa.

-          Describe una zona restringida del campo cubierto por la teoría.

-          El modelo está incluido en la teoría.

Fig. 1.1 Representación grafica del modelo.

Tipos de modelo:

Modelo Básico. Es la representación abstracta de una hipótesis, de la que se establecen sus conceptos y las relaciones entre ellos.

Modelo Teórico. Es un modelo formal (pues se encuentra a nivel abstracto) que representa directamente a la teoría y está contenido en ella.

Modelo Gráfico. Expresa al modelo teórico mediante la descripción a base de diagramas o gráficas.

En la figura  1.2. Se muestra un modelo gráfico de un sistema eléctrico, en este se aprecian las idealizaciones de una fuente  de energía eléctrica, de una resistencia y de una inductancia.

 Fig. 1.2 Modelo grafico de un sistema eléctrico dinámico.

Modelo Físico. Expresa al modelo teórico en el plano de lo concreto, utilizando los mismos elementos del sistema original (modelo directo), o bien, utilizando elementos semejantes (modelo simulado).

Modelo Matemático. Expresa al modelo teórico mediante ecuaciones o relaciones que suministren las precisiones cuantitativas del mismo modelo teórico.

La ecuación diferencial 1.1 muestra el modelo matemático del sistema eléctrico mostrado en la figura 1.2.

 Modelo a Escala: Es una representación de un sistema con diferentes dimensiones que el original, generalmente usados para probar las características dinámicas del original.

1.2. Clasificación de sistemas:

Aunque los sistemas pueden clasificarse desde diversos puntos de vista, se ha elegido un  punto de vista simplificado para mostrarse en forma sinóptica y poder ubicar rápidamente a cualquier sistema que se presente en la práctica. Ver cuadro 1.1.

Cuadro 1.1 Clasificación de Sistemas.

1.3. Variables y Parámetros

A lo largo del estudio de los sistemas es necesario definir conceptos como los de variable y parámetro que se definen a continuación:

1.3.1. Variables:

Se entiende como variable a toda cantidad que interviene en las interacciones del sistema con sus elementos y con el  exterior y que puede cambiar con el tiempo, por ejemplo las fuerzas, aceleraciones, velocidades y desplazamientos en los sistemas mecánicos, o bien las corrientes y tensiones en sistemas eléctricos.

Atendiendo a la relación causal las variables son cantidades que entran a los sistemas y que el sistema transforma en otras magnitudes de salida como se muestra en la figura 1.3.

 Figura 1.3. Diagrama de un sistema mostrando variables de entrada y de

salida.

Dentro del universo de variables puede hacerse otra clasificación que tiene que ver con la forma en que la variable actúa en el sistema y con la forma como esta se mide como sigue:

PerVariable: Si la variable tiende a propagarse como un fluido dentro del sistema, recibe al nombre de pervariable, como ejemplos se pueden mencionar, la corriente eléctrica en sistemas eléctricos, el flujo o caudal en sistemas hidráulicos, el par o momento angular en sistemas mecánicos rotacionales, la fuerza en sistemas mecánicos traslacionales etc.

Para llevar a cabo mediciones en ese tipo de variables en general  requiere de un punto o nodo en el sistema.

TransVariable: Es aquella que se presenta como diferencia de  nivel o de potencial dentro de los sistemas, siempre necesitan un punto de referencia para poder medirse, ejemplos de este tipo de variables son. El desplazamiento, la velocidad, la aceleración en sistemas mecánicos, la tensión eléctrica, la diferencia de nivel en depósitos hidráulicos etc.

Para medir este tipo de variables se necesitan dos puntos  o nodos de sistema, pues se presentan como diferencias.

Parámetros: Se definen como parámetros dentro del estudio de los sistemas a todas aquellas cantidades que no cambian con el tiempo, al menos durante el estudio del sistema, por ejemplo las masas, las constantes de los resortes, los coeficientes de fricción en sistemas mecánicos; las resistencias, inductancias y capacitancias en sistemas eléctricos.

Los parámetros pueden ser conservativos  si por su naturaleza almacenen energía como las inductancias, las capacitancias tanto eléctricas como hidráulicas y térmicas, las masas en sistemas mecánicos, los depósitos de líquidos y  parámetros disipativos si no pueden almacenar energía en este caso la disipan en forma de calor, como las resistencias eléctricas, hidráulicas, térmicas y  los amortiguadores en sistemas mecánicos.